线性高阶元胞自动机的动力学行为及其可判定性

高阶元胞自动机（HOCA）是元胞自动机（CA）的一种变体，在许多应用中使用（例如从秘密共享方案的设计到数据压缩和图像处理），其中系统在时刻 $t$ 的全局状态不仅依赖于时刻 $t-1$ 的状态（如原始模型），还依赖于时刻 $t-2, \ldots, t-n$ 的状态，其中 $n$ 是 HOCA 的记忆长度。我们给出了在字母表 $\mathbb{Z}_m$ 上的线性 HOCA 的两个重要动力学性质——对初值的敏感性和等连续性——的可判定刻画。这些刻画推广了 [23] 中针对字母表 $\mathbb{Z}^{n}_m$ 上在 $n=1$ 情形下的线性 CA（LCA）所给出的刻画。我们还证明了在 $\mathbb{Z}_m$ 上记忆长度为 $n$ 的线性 HOCA 构成了一个与 $\mathbb{Z}_m^n$ 上特定 LCA 子类不可区分的类。这使得能够利用 [2] 和 [19] 中针对 $\mathbb{Z}^n_m$ 上 LCA 的单射性和满射性所提供的可判定刻画，来判定 $\mathbb{Z}_m$ 上记忆长度为 $n$ 的线性 HOCA 的单射性和满射性。最后，我们证明了 $\mathbb{Z}_m^n$ 上的 LCA 与一类重要的非一致 CA（另一种在许多应用中使用的 CA 变体）之间的等价性。