关于与矩阵相合相关的线性代数幺半群

本文通过幺半群 $Sol_A \times Sol_B := \{X \ | \ X^tAX = A\} \times \{X \ | \ X^tBX = B\}$ 的作用，讨论任意域 $k$ 上 $X \in M_n(k)$ 的广义相合方程 $X^tAX=B$。我们已完全刻画对何种矩阵 $A$，幺半群 $Sol_A$ 是李群。我们给出了当 $A$ 为幂零指数为 $n$ 的 $n \times n$ 幂零矩阵时，李群 $Sol_A$ 与 $Sol_{A^2}$ 及其李代数的结构。在此情形下，我们还证明了 $Sol_A$（对任意 $n$）与 $Sol_{A^2}$（对偶数 $n$）的不变量是有限生成的。