关于多重多对数的 Landen 公式及其 $\ell$-adic Galois 类比

本文给出了最初由 Okuda 和 Ueno 建立的复多重多对数 Landen 公式的代数与几何证明。我们的方法运用了源于 $\mathbb{P}^1 \backslash \{0,1,\infty\}$ 的对称性 $z \mapsto \frac{z}{z-1}$ 的复 KZ 解的链式法则。进一步，通过在此证明中将复 KZ 解替换为 $\ell$-adic Galois 1-上闭链，我们得到了 $\ell$-adic Galois 多重多对数的 Landen 公式。该公式涉及 $\ell$-adic Galois 背景特有的低权项，这些项源自 Baker-Campbell-Hausdorff 和 ${\rm log}({\rm exp}(-e_1){\rm exp}(-e_0))$ 的高阶项。这些低权项由涉及 Goldberg 多项式的积分显式描述。