关于二次扭曲族中 $\mathrm{Sel}_\phi(E/\mathbb{Q})$ 与 $\mathrm{Sel}_{\hat\phi}(E^\prime/\mathbb{Q})$ 的联合分布

如果 $E$ 是一条带有 2 阶点的椭圆曲线，则 Klagsbrun 和 Lemke Oliver 的工作表明，在二次扭曲族中，$\dim_{\mathbb{F}_2}\mathrm{Sel}_\phi(E^d/\mathbb{Q}) - \dim_{\mathbb{F}_2} \mathrm{Sel}_{\hat\phi}(E^{\prime d}/\mathbb{Q})$ 的分布趋向于离散正态分布 $\mathcal{N}(0,\frac{1}{2} \log \log X)$，当 $X \rightarrow \infty$。我们考虑当 $\dim_{\mathbb{F}_2} \mathrm{Sel}_\phi(E^d/\mathbb{Q}) - \dim_{\mathbb{F}_2} \mathrm{Sel}_{\hat\phi}(E^{\prime d}/\mathbb{Q})$ 具有固定值 $u$ 时，此类二次扭曲族中 $\mathrm{dim}_{\mathbb{F}_2} \mathrm{Sel}_\phi(E^d/\mathbb{Q})$ 的分布。具体而言，我们证明对于每个 $r$，极限概率 $\dim_{\mathbb{F}_2} \mathrm{Sel}_\phi(E^d/\mathbb{Q}) = r$ 由一个显式常数 $\alpha_{r,u}$ 给出。常数 $\alpha_{r,u}$ 与 Cohen 和 Lenstra 关于类群分布工作中引入的 $u$-概率密切相关，从而提供了椭圆曲线的 Selmer 群与随机阿贝尔群分布之间的连接。我们对这一问题的分析有两个步骤。第一步使用代数和组合方法直接将相关 Selmer 群的秩与随机 $\mathbb{F}_2$-矩阵核的维数联系起来。这证明了对于一种不寻常的密度概念，具有给定 $\phi$-Selmer 秩 $r$ 的扭曲的密度由 $\alpha_{r,u}$ 给出。分析的第二步利用解析数论的技术来证明这一结果意味着关于自然密度概念的正确渐近性。