On the injective dimension of unit Cartier and Frobenius modules

设 $R$ 为特征为 $p$ 的正则 $F$-有限环。我们证明了每个单位 Frobenius 模块 $M$ 在单位 Frobenius 模块范畴中的注入维数最多为 $\operatorname{dim}(\operatorname{Supp}_R(M))+1$。我们进一步展示了对于单位 Cartier 模块，在任何 noetherian $F$-有限环 $A$ 上都适用相同的界限。这表明 $\dim A+1$ 是 noetherian $F$-有限环 $A$ 上任何单位 Cartier 模块注入维数的均匀上界。