论某些 $({n^2+n+k}_{n+1})$ 构形的不可能性

本文研究了某些 $({n^2+n+k}_{n+1})$ 构形的不可能性。首先，对于 $k=2$，使用关联矩阵 $N$ 并分析 $N^TN$ 的形式，重新证明了 \cite{gropp1992non} 的结果，即 $\frac{n^2+n}{2}$ 为偶数且 $n+1$ 为完全平方数，或 $\frac{n^2+n}{2}$ 为奇数且 $n-1$ 为完全平方数。然后，对于所有 $k$，考虑了平行性为传递属性的情况。随后类似地证明了，如果对于偶数 $k$ 有 $n\equiv0$ 或 $n\equiv k-1$ mod $k$，则 $\frac{n^2+n}{k}$ 为偶数且 $n+1$ 为完全平方数，或 $\frac{n^2+n}{k}$ 为奇数且 $n-(k-1)$ 为完全平方数。最后，在最一般的情况下研究了 $k=3$ 的情形。