关于随机波动率 Heston 模型：解析解与完全市场

我们研究用于对有随机波动率的股票欧式期权定价的 Heston 模型。这是一个 Black--Scholes 型方程，其对数股价 $x\in \RR$ 与方差 $v\in (0,\infty)$ 的空间域为半平面 $\HH = \RR\times (0,\infty)$。此时波动率由 $\sqrt{v}$ 给出。欧式看涨期权价格 $p = p(x,v,t)$ 在时刻 $t\leq T$ 的扩散方程为抛物型，并在边界 $\partial \HH = \RR\times \{0\}$ 处当 $v\to 0+$ 时退化。目标是以该期权对波动率波动进行对冲，即函数 $v\mapsto p(x,v,t)\colon (0,\infty)\to \RR$ 及其（局部）逆尤为重要。我们通过建立 $p$ 在空间 $(x,v)$ 与时间 $t$ 变量上的解析性，证明 $\frac{\partial p}{\partial v}(x,v,t) \not= 0$ 在 $\HH\times (-\infty,T)$ 中几乎处处成立。为此，我们证明了出现在扩散方程中的 Black--Scholes 型算子在 $\HH$ 上某个合适的加权 $L^2$-空间中生成全纯 $C^0$-半群。我们通过建立关于唯一全纯延拓在 $\HH$ 的某些复“平移”上的新的先验加权 $L^2$-估计，表明该 $C^0$-半群解可延拓为 $\CC^2\times \CC$ 中某复域上的全纯函数。这些估计仅依赖于终端数据在 $\HH$ 上（在 $t=T$ 时）的加权 $L^2$-范数。