关于多边形空间的 Gromov 宽度

对于一般的 $r=(r_1,\ldots,r_n) \in \mathbb{R}^n_+$ ，具有边长 $r$ 的 $\mathbb{R}^3$ 中 $n$ 边形的空间 $\mathcal{M}(r)$ 是一个光滑辛流形。我们研究其 Gromov 宽度，并证明表达式 $$2\pi \min \{2 r_j, (\sum_{i \neq j} r_i) - r_j\,\,|\, j=1,\ldots,n\}$$ 是所有（光滑）$5$ 边形空间以及在某些 $r \in \mathbb{R}^6_+$ 条件下 $6$ 边形空间的 Gromov 宽度。同一公式构成了所有（光滑）$6$ 边形空间的一个下界。此外，我们证明了当 $\mathcal{M}(r)$ 辛同胚于 $\mathbb{C}\mathbb{P}^{n-3}$ 时，对任意 $n \geq 4$，$\mathcal{M}(r)$ 的 Gromov 宽度由上述表达式给出。