超流形上形式的几何

本文对超流形上形式的几何进行了严谨的阐述，重点关注其代数几何方面。首先，我们引入微分形式的 de Rham 复形并计算其上同调。然后，我们讨论超流形 Berezinian 层的三种内蕴定义——作为商层、通过超 Koszul 复形的上同调或通过全 de Rham 复形的上同调。进一步，我们研究 Berezinian 层的性质，特别证明它定义了一个右 $\mathcal{D}$-模。接着，我们引入积分形式及其复形，并通过提供一个合适的 Poincaré 引理计算其上同调。我们证明微分形式复形与积分形式复形是拟同构的，且它们的上同调计算了超流形约化空间的 de Rham 上同调。随后引入 Berezin 积分的概念，并很好地用于证明 Stokes 定理和 Poincaré 对偶的超类比，这关联了超流形上的微分形式与积分形式。最后，通过以一种新的方式引入全切超流形和（可积）伪形式，讨论了一个不同的观点。在此背景下，证明了在纤维上一点具有分布依赖支撑的一类特殊可积伪形式与积分形式同构。在总体概述中，散布着若干对已有结果的新证明。