关于剩余类中最先出现的素数间隙

我们研究算术级数 (P)：$r$，$r+q$，$r+2q$，$r+3q,\ldots$ 中素数之间最先出现的间隙，其中 $q$ 与 $r$ 为互素整数，$q>r\ge1$。最先出现间隙大小的增长趋势与分布，类似于 (P) 中素数最大间隙的情形。经适当重标度后，最先出现间隙大小的直方图可由 Gumbel 极值分布很好地近似。计算表明，最先出现间隙远比最大间隙多：在 (P) 中小于 $x$ 的素数之间，有 $O(\log^2 x)$ 个最先出现间隙，而最大间隙的数目仅为 $O(\log x)$。我们探讨了给定大小间隙的渐近密度与相应的 Brun 常数推广之间的联系。对于 (P) 中间隙 $d$ 的首次出现，我们期望间隙末端素数 $p\asymp\sqrt{d}\exp(\sqrt{d/\varphi(q)})$ 无穷多次出现。最后，我们将间隙大小作为其在最先出现间隙序列中索引的函数加以研究。