关于伽罗瓦群在圈积中的嵌入

本文明确给出了圈积构造在域扩张伽罗瓦群上的一个应用。更确切地说，给定域塔 $F \subseteq K \subseteq L$，其中 $L/F$ 有限且可分，我们显式构造出伽罗瓦群 $\operatorname{Gal}(L^c/F)$ 到正则圈积 $\operatorname{Gal}(L^c/K^c) \wr_r \operatorname{Gal}(K^c/F)$ 中的一个嵌入。此处 $L^c$（相应地 $K^c$）表示 $L/F$（相应地 $K/F$）的伽罗瓦闭包。类似地，我们还显式构造出伽罗瓦群 $\operatorname{Gal}(L^c/F)$ 到更小尺寸圈积 $\operatorname{Gal}(L^c/K) \wr_{\Omega} \operatorname{Gal}(K^c/F)$ 中的嵌入，其中 $\Omega = \operatorname{Hom}_F(K, K^c)$ 由 $\operatorname{Gal}(K^c/F)$ 中自同构的复合作用。此外，当 $L/K$ 为库默尔扩张时，我们证明了更精细的嵌入，即 $\operatorname{Gal}(L^c/F)$ 嵌入到圈积 $\operatorname{Gal}(L/K) \wr_{\Omega} \operatorname{Gal}(K^c/F)$ 中。作为推论，我们得到了当 $L/K$ 为循环扩张以及当其为二次扩张且 $\operatorname{char}(F) \neq 2$ 时的嵌入定理。我们还给出了这些嵌入的示例，并作为这些嵌入定理有用性的说明，综述了此类结果在域论、算术统计、数论与算术几何中的一些近期应用。