关于广义对称边多面体的 Ehrhart 理论

（有限、无向）图的对称边多面体（SEP）是一个中心对称的格点多面体，其顶点由图的边定义。SEPs 在过去二十年中得到了广泛研究。最近，T\'othm\'er\'esz 以及独立的 D'Al\'i、Juhnke-Kubitzke 和 Koch 将 SEP 的定义推广到了正则拟阵，即可由全单模矩阵表示的拟阵。已知广义 SEPs 具有对称的 Ehrhart $h^*$-多项式，且 Ohsugi 和 Tsuchiya 猜想（普通）SEPs 具有非负 $\gamma$-向量。在本文中，我们利用组合学和 Gr"obner 基技术将 SEPs 的更多已知性质扩展到广义 SEPs。在此过程中，我们通过提供具体示例表明广义 SEPs 不一定是 $\gamma$-非负的。我们证明了所构造的多面体在某种意义上是“几乎”$\gamma$-非负的，即从拟阵中恰好删除两个元素后，可获得具有 $\gamma$-非负性的图的 SEPs。这为进一步证实 Ohsugi 和 Tsuchiya 的猜想在普通情况下成立提供了证据。