关于 d 参数高斯场最大值的分布

设 I 为紧 d 维流形，设 X:I\to R 为具有正则轨线的高斯过程，设 F_I(u)（u\in R）为 sup_{t\in I}X(t) 的概率分布函数。我们证明在某些正则性与非退化条件下，F_I 是 C^1-函数，并满足某个隐式方程，由此可给出其值的界并算出当 u\to +\infty 时的渐近行为。这是对作者此前 d=1 情形结果的局部推广。我们的方法强烈依赖于所谓的 Rice 公式，该公式用于计算形如 Z(t)=x 的方程根的数目的矩，其中 Z:I\to R^d 为随机场，x 为 R^d 中固定点。我们也给出了此类公式的证明，这些证明除当前应用外本身亦具意义。