论用随机放置传感器覆盖 $d$ 维立方体的位移

考虑 $n$ 个传感器以均匀分布随机且独立地放置在 $d$ 维单位立方体 ($d\ge 2$) 中。传感器具有相同的感知范围 $r$，其中 $r >0$。我们感兴趣的是将传感器从其初始位置移动到新位置，以确保 $d$ 维单位立方体被完全覆盖，即 $d$ 维立方体中的每个点都在某个传感器的感知范围内。如果第 $i$ 个传感器移动的距离为 $d_i$，那么最小成本的位移是多少？作为传感器团队位移的成本度量，我们考虑 $a$-总移动量，定义为和 $M_a:= \sum_{i=1}^n d_i^a$，其中常数 $a>0$。我们假设 $r$ 和 $n$ 的选择允许 $d$ 维单位立方体被完全覆盖，且 $a > 0$。本文的主要贡献是证明了 $d$ 维立方体、感知半径和 $a$-总移动量之间存在权衡关系。针对 $d$ 维立方体的情况，主要结果可总结如下。如果 $d$ 维立方体的感知半径为 $\frac{1}{2n^{1/d}}$ 且 $n=m^d$（其中 $m\in N$），则我们提出一种使用 $O\left(n^{1-\frac{a}{2d}}\right)$ 总期望移动量的算法（见算法2和定理5）。如果 $d$ 维立方体的感知半径大于 $\frac{3^{3/d}}{(3^{1/d}-1)(3^{1/d}-1)}\frac{1}{2n^{1/d}}$ 且 $n$ 为自然数，则总期望移动量为 $O\left(n^{1-\frac{a}{2d}}\left(\frac{\ln n}{n}\right)^{\frac{a}{2d}}\right)$（见算法3和定理7）。此外，我们模拟了算法2并讨论了模拟结果。