关于 Denjoy-Tichy-Uitz 族中两个函数的导数

本文研究的函数族最初由 A. Denjoy 引入，后来被 R. Tichy 和 J. Uitz 重新发现。我们将该族函数记为 $g_{\lambda}(x)$，其中 $\lambda\in(0,1)$。定义将在下一节给出。该族中最著名的函数是 Minkowski 问号函数，正如我们将看到的，它对应于 $\lambda=\frac12$。该族所有函数都是连续的、严格递增的，并将区间 $[0,1]$ 映射到其自身。此外，它们是奇异的，即对于任意 $\lambda$，导数 $g'_{\lambda}(x)$ 如果存在，只能取两个值：0 和 $+\infty$。在本文中，我们考虑该类中对应于 $\lambda$ 等于 $\frac{\sqrt5-1}2$ 或 $1-\frac{\sqrt5-1}2$ 的两个函数。本文旨在证明一些关于 $x$ 的本质条件的定理，使得若条件成立，则导数 $g'_{\lambda}(x)$ 存在且具有确定值。我们定理中使用的常数是不可改进的。本文原文为俄语，但引言和主要结果的陈述是用英语撰写的。