关于稳定过程上确界的密度

我们研究了严格稳定 L\'evy 过程上确界的密度。正如 F. Hubalek 和 A. Kuznetsov 最近在"A convergent series representation for the density of the supremum of a stable process" (Elect. Comm. in Probab., 16, 84-95, 2011) 中所证明的那样，对于几乎所有的无理稳定性参数 $\alpha$ 值，该密度可由一个绝对收敛级数表示。我们表明该结果并非对所有无理 $\alpha$ 值都成立：我们构造了一个稠密的不可数无理数集 $\alpha$，使得该级数不绝对收敛。我们的第二个目标是更详细地研究 $\alpha$ 为有理数这一重要情形。我们推导出了上确界 Mellin 变换的显式公式，该公式用 Gamma 函数和二重对数表示。为了说明这些结果的有用性，我们进行了一些数值实验并讨论了其含义。最后，我们陈述了该问题与数学和数学物理其他领域（如 q-级数、Diophantine 逼近和量子二重对数）的一些有趣联系，并提出了一些开放问题。