关于 $m_n \xi $ mod $1$ 收敛于 $0$

我们证明，对于任意无理数 $\a$ 和满足 $\displaystyle{\lim_{l\to \infty} \norm{m_l \a} = 0}$ 的整数序列 $\{m_l\}_{l\in \N}$，存在圆上的一个连续测度 $\mu$，使得 $\displaystyle{\lim_{l\to \infty} \int_\T \norm{m_l \th} d\mu(\th) = 0}$。这意味着任何遍历变换的刚性序列都是某个弱混合动力系统的刚性序列。另一方面，我们证明对于任意 $\a \in \R - \Q$，存在整数序列 $\{m_l\}_{l\in \N}$ 使得 $\norm{m_l \a} \to 0$，且当且仅当 $\th \notin \Q \a+\Q$ 时，$m_l \theta [1]$ 在圆上是稠密的。