论张量的可压缩性

张量常通过将其表示为低秩张量格式来进行压缩。本文中，我们发展了三种界定张量可压缩性的方法：（1）代数结构，（2）光滑性，以及（3）位移结构。对每种方法，我们推导出存储代价的界，部分解释了应用数学中大量可压缩张量的存在。例如，我们证明：在 $[-1,1]^3$ 上带零 Dirichlet 条件的离散化 Poisson 方程 $-\nabla^2 u =1$ 的解张量 $\mathcal{X} \in \mathbb{C}^{n \times n \times n}$ 可在 Frobenius 范数下以相对精度 $0<\epsilon<1$ 被张量列格式中具有 $\mathcal{O}(n (\log n)^2 (\log(1/\epsilon))^2)$ 自由度的张量逼近。由于该界是构造性的，我们也能够以 $\mathcal{O}(n (\log n)^3 (\log(1/\epsilon))^3)$ 的复杂度对该方程进行谱求解。