论唯一量子见证的复杂性与量子近似计数

我们研究了量子协议中唯一见证者能力的长期悬而未决的问题，该问题询问 $\textsf{UniqueQMA}$（$\textsf{QMA}$ 的一个变体，其接受见证空间是 1 维的）在量子归约下是否包含 $\mathsf{QMA}$。本工作通过展示 $\mathsf{BQP}^\mathsf{UniqueQMA}$ 和 $\mathsf{QMA}$ 之间的量子谕示分离，排除了从 $\mathsf{QMA}$ 到 $\mathsf{UniqueQMA}$ 的任何黑盒归约。这与经典情况形成对比，在经典情况下，Valiant-Vazirani 定理显示了从 $\mathsf{UniqueNP}$ 到 $\mathsf{NP}$ 的黑盒随机归约，并提示我们需要研究局部哈密顿量基态空间的结构，以提炼出潜在的唯一见证者。通过类似技术，我们证明，相对于一个量子谕示，$\mathsf{QMA}^\mathsf{QMA}$ 不能判定量子近似计数，从而在黑盒设置下排除了 Stockmeyer 算法的量子类比。然后我们提出一个自然的问题：我们可以利用局部哈密顿量问题的哪些结构特性？我们引入了一个物理驱动的候选方案，证明满足本征态热化假设（ETH）的计算变体的局部哈密顿量的基态能量可以通过一个 $\mathsf{UniqueQMA}$ 协议来估计。我们的协议可以看作是在哈密顿量的低能子空间中的量子扩展器测试，并验证跨越该子空间两个副本的唯一纠缠态。这使我们得出结论：如果 $\mathsf{UniqueQMA}$ 不等价于 $\mathsf{QMA}$，那么 $\mathsf{QMA}$-难的哈密顿量必须在对抗性扰动下违反 ETH。这也提供了证据，表明混沌局部哈密顿量（如 SYK 模型）在计算上可能比一般局部哈密顿量更简单。