关于识别凸集 Nerve 的复杂性

我们研究如下问题的识别：给定一个抽象单纯复形 $K$，它是否为 $\mathbb{R}^d$ 中 $j$ 维凸集的 nerve 的 $k$-骨架。我们将此问题记为 $R(k,j,d)$。作为主要贡献，我们在此框架下统一了以往众多工作的结果，并表明其中许多工作实际上隐含了比明确陈述更强的结论。这使我们得以确定 $R(1,j,d)$ 的复杂性状态——它等价于识别 $\mathbb{R}^d$ 中 $j$ 维凸集交图的问题——对任意 $j$ 与 $d$ 均成立。此外，我们指出了 $R(k,j,d)$ 的一些平凡情形，并证明当 $j\in\{d-1,d\}$ 且 $k\geq d$ 时，$R(k,j,d)$ 是 ER-完全的。