关于共动距离作为四维空间中的弧长

内积提供了一种概念上简单且算法上简便的方法，用于计算两个宇宙学天体之间的共动距离，给定它们的红移、赤经和赤纬以及任意常曲率。关键在于，正如普通二维球面${\cal S}^2$表面上两点之间的距离就是普通欧几里得三维空间${\cal E}^3$中的一段弧长（角度乘以半径）一样，三维球面${\cal S}^3$（三维双曲面${\cal H}^3$）上两点之间的距离就是欧几里得四维空间${\cal E}^4$（闵可夫斯基四维空间${\cal M}^4$）中的一段“弧长”，即“超角”乘以三维球面（三维双曲面）的曲率半径。