关于整体函数域的整环上二次型的分类

设 $C$ 为定义在有限域 $\mathbb{F}_q$ 上的光滑射影曲线（$q$ 为奇数），令 $K=\mathbb{F}_q(C)$ 为其函数域。任意 $C$ 的闭点有限集 $S$ 给出 $K$ 中的整环 $\mathcal{O}_S:=\mathbb{F}_q[C-S]$。我们证明，给定秩 $n \geq 3$ 的 $\mathcal{O}_S$-正则二次空间 $(V,q)$，在平坦或 \'etale 拓扑下同构于 $(V,q)$ 的二次 $\mathcal{O}_S$-空间的恰当分类中，genus 的集合与 ${_2\text{Br}}(\mathcal{O}_S)$ 成 $1:1$ 对应，因此有 $2^{|S|-1}$ 个这样的 genus。若 $(V,q)$ 是迷向的，则 $\text{Pic}(\mathcal{O}_S)/2$ 分类该 genus 中的形式。对于 $n \geq 5$，这对所有 genus 成立，因此完全分类通过阿贝尔群 $H^2_{\text{\'et}}(\mathcal{O}_S,\underline{\mu}_2)$ 实现。