关于次从属杀死的 Lévy 过程的边界理论

设 $Z$ 为 ${\mathbb R}^d$（$d\ge 2$）中经由具有 Laplace 指数 $\phi$ 的从属子的次从属布朗运动。我们在离开有界开集 $D\subset {\mathbb R}^d$ 时杀死过程 $Z$ 得到杀死过程 $Z^D$，然后用具有 Laplace 指数 $\psi$ 的从属子对过程 $Z^D$ 进行次从属。所得过程记为 $Y^D$。假设 $\phi$ 和 $\psi$ 均在无穷远处满足某些弱缩放条件。我们研究 $Y^D$ 的势理论，特别是边界理论。首先，在 $D$ 为 $\kappa$-胖有界开集的情况下，我们证明 Harnack 不等式成立。此外，若 $D$ 满足局部外体积条件，则我们证明 Carleson 估计。在 $D$ 为光滑开集且 $\psi$ 的下弱缩放指数严格大于 $1/2$ 时，我们建立边界 Harnack 原理，并给出在 $D$ 边界附近的显式衰减率。另一方面，当 $\psi(\lambda)=\lambda^{\gamma}$ 且 $\gamma\in (0,1/2]$ 时，我们证明对任何有界 $C^{1,1}$ 开集 $D$，在 $D$ 边界附近的边界 Harnack 原理均不成立。我们的结果给出了第一个 Carleson 估计成立但边界 Harnack 原理不成立的例子。证明中的主要成分之一是 $Y^D$ 的 Green 函数的精细双侧估计。在关于 $\psi$ 的附加条件下，我们建立了 $Y^D$ 的跳跃核的精细双侧估计，其展现出某些未预期的边界行为。我们还证明了对于在严格包含于 $D$ 中的光滑开集 $E$ 内调和的非负函数的边界 Harnack 原理，表明 $Y^D$ 在 $D$ 内部的行为由复合 $\psi\circ \phi$ 决定。