关于射影平面的辛覆盖

我们证明：射影平面沿一条 Hurwitz 曲线 $\bar H$（且可能沿一条“无穷远”直线）分支的任一有限覆盖的奇点解消，可作为一个辛子流形嵌入到某个配备整数 Kähler 辛形式的射影代数流形中（假设若 $\bar H$ 有负节点，则该覆盖在其上为非奇异的）。对于循环覆盖，我们可将此嵌入实现于一个有理代数三维流形中。我们研究了 $\bar{H}$ 的 Alexander 多项式的性质，并将其应用于计算沿 $\bar H$（且可能沿一条“无穷远”直线）分支的 $\mathbb C\mathbb P^2$ 的 $n$ 叶循环覆盖的奇点解消 $\bar X_n$ 的第一 Betti 数 $b_1(\bar X_n)$。我们证明当 $\bar H$ 为不可约 Hurwitz 曲线时 $b_1(\bar X_n)$ 为偶数，但与代数情形相反，当 $\bar H$ 由若干不可约分支组成时，它可以取任意非负值。