关于符号群簇与对偶满射性

设 $G$ 为一个群。设 $X$ 为代数闭域 $K$ 上的代数群。记 $A=X(K)$ 为 $X$ 的有理点集。我们研究代数群元胞自动机 $\tau \colon A^G \to A^G$，其局部定义映射由代数群同态 $X^M \to X$ 诱导，其中 $M$ 为有限记忆。当 $G$ 是 sofic 群且 $K$ 不可数时，我们证明若 $\tau$ 是后满射的，则它是弱前单射的。我们的结果推广了由 Capobianco、Kari 和 Taati 提出的关于有限字母表 Gottschalk 猜想的对偶版本。当 $G$ 是顺从群时，我们证明若 $\tau$ 是满射的，则它是弱前单射的，反之，若 $\tau$ 是前单射的，则它是满射的。因此，对于代数群元胞自动机的 Garden of Eden 定理，我们给出了 Gromov 问题的一个完整回答。