关于κ-丰盈模型的谱

我们证明，对于一阶类，某个自然的“外部”性质等价于稳定性。对于模型而言，丰盈性是κ-饱和性的加强。为清晰起见，我们限制在κ > |T|的情形，模型M是κ-丰盈的意味着：当我们用少于κ个个体常元(c_i:i < α)扩张M时，如果(M, c_i)_{i<α}有一个初等扩张，该扩张可被进一步扩张为T'的模型，其中Th((M,c_i)_{i<α}) ⊆ T'且|T'| < κ，那么(M,c_i)_{i<α}本身就可以被扩张为T'的模型。显然，任何基数为λ的饱和模型都是λ-丰盈的。我们问：对于基数为λ的（一阶完备）理论T，存在多少个κ-丰盈模型？自然地，我们限制基数为λ = λ^κ + 2^{|T|}。然后我们得到一个完整且令人满意的答案：这仅取决于T是稳定的还是不稳定的。在这种情况下，证明对于稳定T，丰盈模型很少并不困难；事实上，T的每个丰盈模型都是饱和的，因此由其基数在同构意义下唯一确定。逆命题则更有问题，因为我们自然需要使用带有任意α < κ个位置的Skolem函数。通常我们使用相关的划分定理（Ramsey定理或Erdős-Rado定理），但在我们的情形中，相关的划分定理不成立，因此我们必须小心处理。