基于双轨轮廓分解的质量-能量双临界 NLS 的尖锐散射阈值

本文研究质量-能量双临界 NLS \begin{align} i\partial_t u+\Delta u\pm |u|^{\frac{4}{d}}u\pm |u|^{\frac{4}{d-2}}u=0\tag{DCNLS} \end{align} 在 $H^1(\mathbb{R}^d)$（$d\geq 3$）中的大数据散射问题。在散焦-散焦机制下，Tao、Visan 和 Zhang 证明了 DCNLS 的唯一解在 $H^1(\mathbb{R}^d)$ 中对任意初值全局存在且随时间散射。当至少一个非线性项为聚焦时，由于可能出现爆破与孤子解，此结论不再成立。然而，在所有其余机制中 DCNLS 解散射的精确阈值此前均为开放问题。遵循经典的浓度紧致原理，我们在所有其余机制中针对 DCNLS 基于基态给出了尖锐散射阈值。新的挑战源于标准 $L^2$- 或 $\dot{H}^1$-轮廓分解的余项无法同时具有渐近消失的对角 $L^2$- 和 $\dot{H}^1$-Strichartz 范数。为克服此困难，我们构造了一种双轨轮廓分解，能够在单一轮廓分解中捕捉低频、中频与高频气泡，并具有在对角 $L^2$- 和 $\dot{H}^1$-Strichartz 空间中均渐近小的余项。