Kneser图及其补图的半传递可定向性

图的一个定向若是无环的，且对任意有向路径$v_0\rightarrow v_1\rightarrow \cdots\rightarrow v_k$，要么$v_0$与$v_k$之间无边，要么对所有$0\leq i<j\leq k$均有边$v_i\rightarrow v_j$，则称该定向为半传递的。若无向图容许一个半传递定向，则称其为半传递图。半传递图包含若干重要的图类，如3-可着色图、可比图和圆图，并且它们正是文献中广泛研究的字可表示图类。本文研究著名的Kneser图$K(n,k)$的半传递可定向性，该图的顶点对应于$n$个元素集合的$k$元子集，两个顶点相邻当且仅当对应的两个集合不相交。我们证明对于$n\geq 15k-24$，$K(n,k)$不是半传递的，而对于$k\leq n\leq 2k+1$，$K(n,k)$是半传递的。此外，我们通过计算证明$K(8,3)$的一个含16个顶点和36条边的子图$S$，以及因此含56个顶点和280条边的$K(8,3)$本身，是非半传递的。$S$和$K(8,3)$是非半传递无三角图的首次显式例子，其存在性由Halldósson等人于2011年借助Erdős定理确立。而且，我们证明$K(n,k)$的补图$\overline{K(n,k)}$是半传递的当且仅当$n\geq 2k$。