关于直线上泊松过程的粗等距映射

直观地说，如果两个度量空间的大尺度度量结构相同（忽略细节），则它们是粗等距的（或拟等距的）。这一概念在群的几何研究中已被证明是基础的。Ab\'{e}rt，以及后来的 Szegedy 和 Benjamini，提出了关于这一概念的几个概率问题。在本文中，我们考虑其中最简单的问题之一：直线上的两个独立泊松点过程是否几乎必然是粗等距的？Szegedy 猜想答案是肯定的。Benjamini 提议考虑一个定量版本，大致陈述如下：给定 $\mathbb{N}$ 上的两个独立渗流，对于哪些常数，第一个渗流的前 $n$ 个点与第二个渗流的初始段是粗等距的，其中第一个点映射到第一个点，且概率一致下有下界？我们证明了原始问题等价于证明在此定量版本中绝对常数是可能的。随后，我们通过证明在定量版本中量级为 $\sqrt{\log n}$ 的常数就足够了，从而在该猜想上取得了一些进展。这是第一个改进平凡构造（其常数量级为 $\log n$）的结果。此外，我们构造的粗等距映射是（弱）单调的，并且我们包含了对单调粗等距映射及其性质的讨论，以及其中固有的有趣格结构。