关于区域交叉变换与关联矩阵

在Ayaka Shimizu$^{[5]}$最近的工作中，她定义了一种称为区域交叉变换的链环图操作，并证明了区域交叉变换是扭结图的一种解结操作。本文证明，对于二分支链环图，区域交叉变换是解结操作当且仅当该图的环绕数为偶数。此外，我们通过链环图的有符号平面图及其对偶图定义了链环图的关联矩阵。通过研究区域交叉变换与关联矩阵之间的关系，我们证明一个有符号平面图表示一个$n$分支链环图当且仅当关联矩阵的秩等于$c-n+1$，其中$c$表示图的大小。