关于法诺平面的拟q-模拟及相关组合结构

设$\mathcal{F}_q$为有限域$\mathbb{F}_q$上的$7$维向量空间$\mathbb{F}_q^7$的$3$维子空间集合，若$\mathbb{F}_q^7$的每个$2$维子空间都恰好包含在$\mathcal{F}_q$的一个成员中，则称$\mathcal{F}_q$构成法诺平面的一个$q$-模拟。对于每一个$q$值，此类$q$-模拟的存在性问题均尚未解决。本文报告了利用子空间码理论的思想构造此类$q$-模拟的尝试，子空间码由Koetter和Kschischang在几年前关于网络编码纠错的开创性工作中引入。我们的尝试最终失败，但它产生了迄今为止已知的最大子空间码，其参数与假定的$q$-模拟相同。特别地，我们找到了大小为$6977$的三元子空间码新纪录，并且能够以完全无计算机的方式构造当前已知最大大小为$329$的二元子空间码。