关于 Lusztig 反常层纯性定理

设 $Q$ 为无环有限箭图，$\mathcal{Q}_{\alpha}$ 为任意维数向量 $\alpha$ 对应的 Lusztig 范畴。本文旨在证明：对于简单反常层 $\mathcal{L}\in \mathcal{Q}_{\alpha}$ 及 $x\in \mathbb{E}_{\alpha}^{F^n}=\mathbb{E}_{\alpha}(\mathbb{F}_{q^n})$，其第 $i$ 阶上同调 $\mathcal{H}^i(\mathcal{L})|_x$ 的所有 Frobenius 特征值均等于 $(\sqrt{q^n})^{i}$，正如 Schiffmann (\cite{Schiffmann2}) 所给出的猜想。作为应用，我们证明了一类 Hall 多项式的存在性。