关于 $\operatorname{PGL}_3(\mathbb{C})$ 中的伪实有限子群

设 $G$ 为 $\operatorname{PGL}_3(\mathbb{C})$ 的有限子群，并设 $\sigma$ 为 $\operatorname{Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{R})$ 的生成元。若 $^{\sigma}G$ 与 $G$ 是 $\operatorname{PGL}_3(\mathbb{C})$-共轭的，即若存在 $\phi\in\operatorname{PGL}_3(\mathbb{C})$ 使得 $\phi^{-1}\,G\,\phi=\,^{\sigma}G$，则称 $G$ 具有实模域。此外，若 $G$ 与某个 $G'\subset\operatorname{PGL}_3(\mathbb{R})$ 是 $\operatorname{PGL}_3(\mathbb{C})$-共轭的，则称 $\mathbb{R}$ 为 $G$ 的定义域或称 $G$ 可在 $\mathbb{R}$ 上定义。此时，称 $G'$ 为 $G$ 在 $\mathbb{R}$ 上的模型。若 $G$ 以 $\mathbb{R}$ 为定义域但不可在 $\mathbb{R}$ 上定义，则称 $G$ 为伪实的。本文首先证明 $\operatorname{PGL}_3(\mathbb{C})$ 中的任意有限循环子群 $G=\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 具有实模域，并给出 $G=\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 可在 $\mathbb{R}$ 上定义的充要条件；见定理 2.1、2.2 和 2.3。我们还证明 $\operatorname{PGL}_3(\mathbb{C})$ 中任意二面体群 $\operatorname{D}_{2n}$（$n\geq3$）可在 $\mathbb{R}$ 上定义；见定理 2.4。进而，我们研究 $\operatorname{PGL}_3(\mathbb{C})$ 的所有六类有限本原子群，并证明除二十面体群 $\operatorname{A}_5$ 外均为伪实的；见定理 2.5，而 $\operatorname{A}_5$ 可在 $\mathbb{R}$ 上定义。最后，我们探讨群论中这些概念与算术几何中相应概念的联系；见定理 2.6 和例 2.7。