关于半整数权Poincaré级数

我们利用 $\mathrm{SL}_2(\mathbb R)$ 的亚实覆盖之真不可积表示的 $K$-有限矩阵系数的Poincaré级数，构造尖形式空间 $S_m(\Gamma,\chi)$ 的生成集，其中 $\Gamma$ 是 $\mathrm{SL}_2(\mathbb R)$ 的亚实覆盖中有限余体积的离散子群，$\chi$ 是 $\Gamma$ 的有限阶特征标，且 $m\in\frac52+\mathbb Z_{\geq0}$。我们给出所构造尖形式非零性的结果，并计算它们与任意 $f\in S_m(\Gamma,\chi)$ 的Petersson内积。利用这最后一结果，我们构造Poincaré级数 $\Delta_{\Gamma,k,m,\xi,\chi}\in S_m(\Gamma,\chi)$，它在Riesz表示定理意义下对应于 $S_m(\Gamma,\chi)$ 上的线性泛函 $f\mapsto f^{(k)}(\xi)$，其中 $\xi\in\mathbb C_{\Im(z)>0}$ 且 $k\in\mathbb Z_{\geq0}$。在关于 $\Gamma$ 与 $\chi$ 的某些附加条件下，我们给出尖形式 $\Delta_{\Gamma,k,m,\xi,\chi}$ 的Fourier展开及其在经典Poincaré级数级数中的展开。