关于二维散射变换的 Plancherel 恒等式

我们考虑 Ablowitz 和 Fokas 用于将散焦 Davey-Stewartson 系统转化为线性演化方程的 $\overline{\partial}$-Dirac 系统。Beals 和 Coifman 对 Schwartz 函数建立了相关散射变换的非线性 Plancherel 恒等式。Sung 将该恒等式的有效性扩展至属于 $L^1(\mathbb{R}^2)\cap L^\infty(\mathbb{R}^2)$ 的函数，Brown 则扩展至具有足够小范数的 $L^2(\mathbb{R}^2)$ 函数。最近，Perry 将其扩展至加权 Sobolev 空间 $H^{1,1}(\mathbb{R}^2)$，而本文将其进一步扩展至 $s\in(0,1)$ 的 $H^{s,s}(\mathbb{R}^2)$。