关于双曲守恒律高阶保界格式的优化单元平均分解

本文首次对寻求最优单元平均分解（OCAD）这一基本问题进行了系统研究，该问题源于在Zhang--Shu框架内构造高效的高阶保界（BP）数值方法。自2010年提出以来，Zhang--Shu框架引起了广泛关注，并被应用于为各类双曲方程开发许多高阶BP间断Galerkin和有限体积格式。该框架的一个关键要素是将数值解的单元平均分解为某些 quadrature 点处解值的凸组合。Zhang和Shu最初提出的经典CAD在过去十年中被广泛使用。然而，可行的CAD并不唯一，且不同的CAD会影响理论BP CFL条件从而波及计算代价。Zhang和Shu仅针对一维 $\mathbb P^2$ 和 $\mathbb P^3$ 空间验证了他们基于Gauss--Lobatto quadrature的经典CAD在达到最宽松BP CFL条件的意义下是最优的。本文中，我们建立了在笛卡尔网格上研究一维和二维OCAD问题的一般理论。我们严格证明经典CAD对一般一维 $\mathbb P^k$ 空间和一般二维 $\mathbb Q^k$ 空间（任意 $k$）是最优的。对于广泛使用的二维 $\mathbb P^k$ 空间，经典CAD并非最优，我们建立了寻找真正OCAD的一般方法，并提出了更实用的拟最优CAD，二者均提供比经典CAD宽松得多的BP CFL条件。因此，我们的OCAD和拟最优CAD显著提高了针对一大类双曲或对流占优方程的高阶BP格式的效率，且仅需对实现代码进行轻微局部的修改，代价很小。