经典凸分解在多维保界格式中是否最优？
数值分析
2023-01-25 v1 数值分析
摘要
自[X. Zhang and C.-W. Shu, J. Comput. Phys., 229: 3091--3120, 2010]提出以来，Zhang--Shu框架引起了广泛关注，并催生了许多针对各类双曲方程的保界（BP）高阶间断伽辽金与有限体积格式。该框架的一个关键要素是将数值解的单元平均值分解为在某些求积点处解值的凸组合，这有助于将高阶格式重写为形式一阶格式的凸组合。Zhang和Shu最初提出的经典凸分解在过去十年中被广泛使用。仅对一维二次与三次多项式空间，已验证经典分解在达到最宽松BP CFL条件意义下是最优的。然而，经典分解在多维中是否最优仍不清楚。在本文中，我们发现基于Gauss--Lobatto与Gauss求积张量积的经典多维分解一般并非最优，并且我们为笛卡尔网格上总次数分别不超过2和3的二维与三维多项式空间发现了一种新颖的替代分解。我们的新分解允许比经典分解更大的BP时间步长，而且被严格证明为达到最宽松BP CFL条件的最优分解，却所需节点少得多。此种最优凸分解的发现极为不易却很有意义，因为它可能以仅对实现代码做轻微局部修改为代价，改进一大类双曲或对流占优方程的高阶BP格式。我们提供了若干数值例子，以进一步验证使用我们最优分解相对经典分解在效率上的优势。
引用
@article{arxiv.2207.08849,
title = {Is the Classic Convex Decomposition Optimal for Bound-Preserving Schemes in Multiple Dimensions?},
author = {Shumo Cui and Shengrong Ding and Kailiang Wu},
journal= {arXiv preprint arXiv:2207.08849},
year = {2023}
}