关于新型分数阶算子及其应用

我们引入两类分数阶积分算子：一类通过指数积分函数$$E_1(x)=\int_x^\infty \frac{e^{-t}}{t}\,dt,\quad x>0,$$定义，另一类通过特殊函数$$\mathcal{S}(x)=e^{-x} \int_0^\infty \frac{x^{s-1}}{\Gamma(s)}\,ds,\quad x>0.$$定义。我们建立了这些算子的不同性质，并研究了第一类分数阶积分与第二类分数阶积分之间的关系。接下来，我们引入阶为$\alpha>0$的分数阶导数的新概念，其通过第一类分数阶积分定义。利用近似恒等论证，我们证明当$\alpha\to 0^+$时，所引入的分数阶导数在$L^1$空间中收敛于标准导数。还研究了其他若干性质，如分数阶分部积分、该分数阶导数与第二类分数阶积分之间的关系等。作为一个应用，我们考虑了一种新的弛豫方程分数阶模型，建立了该模型解的存在唯一性结果，并给出了收敛到解的迭代算法。