二项随机变量 Ramanujan 函数的单调性

对于参数为 $n$ 和 $b/n$ 的二项随机变量 $\xi$，众所周知当 $b$ 为整数时其中位数等于 $b$。1968 年，Jogdeo 与 Samuels 研究了 ${\sf P}(\xi=b)$ 与 $1/2-{\sf P}(\xi<b)$ 之间相对差异的行为。他们证明了其关于 $n$ 的单调性，并提出了关于其关于 $b$ 单调性的问题。该问题由 Ramanujan 于 1911 年提出的关于具有相同量但对于整数参数 $b$ 的泊松随机变量的单调性这一已解决问题所启发。在本文中，我们回答了该问题并引入了一种分析类似函数单调性的简单方法。