关于镜像对称与 Zeta 值的无理性

$n$ 维 Fano 簇镜像对称研究的一个基本对象是小量子上同调上的 A 侧联络。当 Picard 秩为 1 时，Borel 变换将 Fano 簇的量子微分算子与其镜像的 Picard-Fuchs 算子联系起来，后者对应于 Fano 簇上相关反规范 Calabi-Yau $(n-1)$ 簇束。基于 W. Yang 关于与 Ap\'ery 证明 $\zeta(3)$ 无理性相关的 K3 曲面 Beukers-Peters 束的相关工作，针对此类算子，我们定义了全纯预势、虚拟 Yukawa 耦合和虚拟瞬子数，类似于 Calabi-Yau 镜像对称的常规要素。我们证明，当底层的 Calabi-Yau 算子是模的时，虚拟 Yukawa 耦合是权为 $(n+1)$ 的模形式，其全纯预势为 Eichler 积分。随后，我们从 Golyshev & Zagier 对此类 Fano 簇 Gamma 猜想证明的角度（这也是 Yang 工作的自然背景），分析了作为 17 类 Picard 秩为 1 的 Fano 三维簇（由 Iskovskikh 分类）的反规范线性系的 Dolgachev-Nikulin-Pinkham 镜像而产生的 K3 曲面模束的量子微分算子。在此，虚拟瞬子数被证明是周期整数，其周期等于模子群的级数。最后，我们猜想这些虚拟瞬子数的几何性质可以从相关对数 Calabi-Yau 对（由 Fano 三维簇和反规范 K3 组成）的相对亏格零 Gromov-Witten 不变量来理解。