关于双伴随与 lax 代数的提升

由双伴随三角形定理，给定一个 $2$-范畴 $\mathfrak{B}$ 上的伪幺半 $\mathcal{T}$，若右双伴随 $\mathfrak{A}\to\mathfrak{B}$ 有到伪代数 $\mathfrak{A}\to\mathsf{Ps}\textrm{-}\mathcal{T}\textrm{-}\mathsf{Alg}$ 的提升，则只要 $\mathfrak{A}$ 具有余下降对象，该提升也是右双伴随。本文中，我们给出关于双伴随提升的一般结果。作为推论，我们得到一个 \textit{双伴随三角形定理}，特别地，它允许我们研究涉及 lax 代数 $2$-范畴的三角形，证明上述结果的类比。更精确地，我们证明，记 $\ell :\mathsf{Lax}\textrm{-}\mathcal{T}\textrm{-}\mathsf{Alg} \to\mathsf{Lax}\textrm{-}\mathcal{T}\textrm{-}\mathsf{Alg}_\ell$ 为包含函子，若 $R: \mathfrak{A}\to\mathfrak{B}$ 是右双伴随且有一个提升 $J: \mathfrak{A} \to \mathsf{Lax}\textrm{-}\mathcal{T}\textrm{-}\mathsf{Alg}$，则只要 $\mathfrak{A}$ 具有某些所需的加权双余极限，$\ell\circ J$ 也是右双伴随。为证明该定理，我们研究了下降对象与 lax 下降对象。在最后一节，我们在 $2$-幺半方法之于凝聚性的背景下研究我们定理的直接推论。特别地，我们给出严格代数到 lax 代数的包含的左 $2$-伴随的构造。