Paley图与Paley竞赛图中具有度奇偶性条件的导出子图

本文研究了Paley图和Paley竞赛图中每个顶点（出）度具有相同奇偶性的导出子图和子有向图的数量。对于Paley图，我们建立了大的偶导出子图数量的下界，特别是那些包含恒定比例顶点的子图。我们确定了Paley图的偶-偶划分的数量，表明当$q\equiv 1\Mod{8}$时该数量是指数级的，当$q\equiv 5\Mod{8}$时是平凡的，同时证明了Paley竞赛图中不存在偶-偶划分。此外，我们推导了Paley图和Paley竞赛图中阶为$r=o(q^{1/4})$的偶导出子（有向）图数量的渐近公式，表明它们集中在相应随机（有向）图模型的期望值附近。在编码理论的背景下，我们在Paley图（竞赛图）的奇/偶导出子（有向）图与可通过有限域子集的（扩展）广义Reed-Solomon码构造的最大距离可分（MDS）自对偶码之间建立了对应关系。因此，我们在导出子图方面的贡献导致了关于MDS自对偶码的新存在性和计数结果。