关于超图支撑

设 $\mathcal{H}=(X,\mathcal{E})$ 为一个超图。支撑是指 $X$ 上的一个图 $Q$，使得对每个 $E\in\mathcal{E}$，在 $E$ 中元素上诱导的 $Q$ 的子图是连通的。本文考虑定义在宿主图上的超图。给定图 $G=(V,E)$，其中 $c:V\to\{\mathbf{r},\mathbf{b}\}$，以及 $G$ 的连通子图集合 $\mathcal{H}$，原支撑是 $\mathbf{b}(V)$ 上的一个图 $Q$，使得对每个 $H\in \mathcal{H}$，在顶点 $\mathbf{b}(H)=H\cap c^{-1}(\mathbf{b})$ 上诱导的子图 $Q[\mathbf{b}(H)]$ 是连通的。对偶支撑是 $\mathcal{H}$ 上的一个图 $Q^*$，使得对每个 $v\in X$，诱导子图 $Q^*[\mathcal{H}_v]$ 是连通的，其中 $\mathcal{H}_v=\{H\in\mathcal{H}: v\in H\}$。我们给出了宿主图与超边上的充分条件，使得所得支撑来自受限族。我们主要研究两类图：(1) 若宿主图具有亏格 $g$ 且超图满足无交叉的拓扑条件，则存在亏格至多为 $g$ 的原支撑与对偶支撑。(2) 若宿主图具有树宽 $t$ 且超边满足不穿透的组合条件，则存在树宽为 $O(2^t)$ 的原支撑与对偶支撑。我们表明这种指数级膨胀有时是必要的。作为中间情形，我们还研究了宿主图为外平面图的情况。最后，我们展示了我们的结果在几何超图上的 packing 与 covering 以及染色问题中的应用。