有限基数图的支撑

设 $(X,\mathcal{E})$ 为超图。支撑是指在 $X$ 上的图 $Q$，使得对于每个 $E\in\mathcal{E}$，$Q$ 在 $E$ 中元素诱导的子图连通。我们考虑由主机图中连通子图定义的超图的支撑构造问题。对于图 $G=(V,E)$，设 $\mathcal{H}$ 为 $G$ 中连通子图的集合。将 $G$ 的顶点划分为两个集合：终端 $\mathbf{b}(V)$ 和非终端 $\mathbf{r}(V)$。我们定义在 $\mathbf{b}(V)$ 上的超图，其中每个 $H\in\mathcal{H}$ 定义一个由 $H$ 中 $\mathbf{b}(V)$ 顶点组成的超边。我们还考虑构造双图支撑——即在 $\mathcal{H}$ 上的超图，其中每个 $v\in \mathbf{b}(V)$ 定义一个由包含 $v$ 的子图组成的超边。事实上，我们构造了一个称为“交叉超图”的原始和双图设置的常见一般化的支撑。作为我们的主要结果，我们表明如果主机图 $G$ 具有有限基数且 $\mathcal{H}$ 中的子图满足“无交叉”条件，则存在一个也具有有限基数的支撑。我们的结果是 Raman 和 Ray (Rajiv Raman, Saurabh Ray: Constructing Planar Support for Non-Piercing Regions. Discret. Comput. Geom. 64(3): 1098-1122 (2020)) 结果的推广。我们的技术意味着对有限基数曲面上定义的超图的装箱和覆盖问题进行统一分析。我们还描述了我们的结果在超图着色中的应用。