双曲群中双陪集的增长

设 $H$ 为双曲群，$A$ 与 $B$ 为 $H$ 的子群，$gr(H,A,B)$ 为双陪集 $AhB, h \in H$ 的增长函数。我们证明 $gr(H,A,B)$ 的行为分为两种不同情形。若 $A$ 与 $B$ 非拟凸，我们得到有限呈示群的任一增长函数均可作为 $gr(H,A,B)$ 出现，甚至可取 $A=B$。相反，对于无限指数的拟凸子群 $A$ 与 $B$，$gr(H,A,B)$ 为指数型增长。 moreover，存在常数 $\lambda > 0$，使得对所有足够大的 $r$ 有 $gr(H,A,B)(r) >\lambda f_H(r)$，其中 $f_H(r)$ 为群 $H$ 的增长函数。因此，拟凸与非拟凸情形之间存在清晰的二分性。