关于简约词集合的图

有限对称群中的任意置换可写为简单对换 $s_i = (i~i+1)$ 的乘积。对固定置换 $\sigma \in \mathfrak{S}_n$，长度为最小的乘积称为简约分解或简约词，所有此类简约词的集合记为 $\mathcal{R}(\sigma)$。$\sigma$ 的任意简约词可通过一系列交换移动或长辫移动变换为其他简约词。这些集合中的一个研究热点是由仅使用辫关系或仅使用交换关系所定义的同余类。集合 $\mathcal{R}(\sigma)$ 可画为一图 $G(\sigma)$，其顶点为简约词，边表示词之间存在交换或辫移动。本文给出了关于 $G(\sigma)$ 中子图结构的新成果，以及计数 $G(\sigma)$ 中辫边与交换边数量的新公式。我们还包含了关于 $\mathcal{R}(\sigma)$ 中辫类与交换类数量的界的工作。