关于广义Frame-Stewart数

对于$k \geqslant 4$个柱子的多柱汉诺塔问题，目前最好的解由Stewart算法基于以下递推关系得到：$\mathrm{S}\_k(n)=\min\_{1 \leqslant t \leqslant n} \left\{2 \cdot \mathrm{S}\_k(n-t) + \mathrm{S}\_{k-1}(t)\right\}$，$\mathrm{S}\_3(n) = 2^n -- 1$。本文将这一递推关系推广为$\mathrm{G}\_k(n) = \min\_{1\leqslant t\leqslant n}\left\{ p\_k\cdot \mathrm{G}\_k(n-t) + q\_k\cdot \mathrm{G}\_{k-1}(t) \right\}$，$\mathrm{G}\_3(n) = p\_3\cdot \mathrm{G}\_3(n-1) + q\_3$，其中$(p\_i)\_{i \geqslant 3}$和$(q\_i)\_{i \geqslant 3}$是任意正整数序列，并证明了差分序列$(\mathrm{G}\_k(n)- \mathrm{G}\_k(n-1))\_{n \geqslant 1}$由形如$(\prod\_{i=3}^{k}q\_i) \cdot (\prod\_{i=3}^{k}{p\_i}^{\alpha\_i})$的数组成，其中对所有$i$有$\alpha\_i\geqslant 0$，且按非递减顺序排列。我们还应用这一结果分析了几个图上的汉诺塔问题的递推关系。