关于 Aharoni-Pouzet 基交换定理的若干推广

Greene-Magnanti 定理指出，若 $M$ 是一个有限拟阵，$B_0$ 与 $B_1$ 是基且 $B_0=\bigcup_{i=1}^{n} X_i$ 是一个划分，则存在划分 $B_1=\bigcup_{i=1}^{n}Y_i$ 使得对每个 $i$，$(B_0 \setminus X_i) \cup Y_i$ 都是基。其中每个 $X_i$ 为单点集的特例可重述为基转移图中完美匹配的存在性。Pouzet 猜想这在无限维向量空间中依然成立。后来他与 Aharoni 肯定地回答了该猜想，不仅针对向量空间，也针对无限拟阵。我们证明他们结果的两个推广。一方面，我们表明“为单点集”可放宽为“为有限集”，且这在排除无限集确属必要意义下是尖锐的。另一方面，我们证明若 $B_0$ 与 $B_1$ 是基，则存在它们之间有限子集的双射 $F$，使得对每个 $I$，$(B_0\setminus I) \cup F(I)$ 都是基。与 Aharoni 和 Pouzet 的方法不同，我们的证明完全初等，不依赖于无限匹配理论。