论具有 prescribed 拉格朗日密度的极值

考虑两个流形 $M^m$ 和 $N^n$ 以及映射 $u:M\to N$ 的一阶拉格朗日量 $L(u)$，即 $L$ 是涉及 $u$ 及其一阶导数的表达式，其值在 $M$ 上是 $m$-形式（或更一般地，是 $m$-密度）。人们通常关注描述泛函 $\Cal L(u) = \int_M L(u)$ 的极值，这些极值在局部刻画为与 $L$ 关联的欧拉-拉格朗日方程 $E_L(u)=0$ 的解。在本注中，我将讨论三个可理解为试图确定欧拉-拉格朗日方程有多少个解同时满足 $L(u) = \Phi$ 的问题，其中 $\Phi$ 是 $M$ 上指定的 $m$-形式或 $m$-密度。第一个问题已完全解决，即判定平面上区域上的两个极小图在仅相差垂直平移或反射之外，何时能诱导相同的面积形式。第二个问题（下文更充分描述）源于 Calabi 教授对曲面上极值等周度量（isosystolic metrics）的研究。第三个问题也已完全解决，即确定具有常能量密度的球面之间的（局部）调和映射。