论增强约化群 (II)：增强群作用下幂零轨道的有限性及其闭包

本文是 \cite{osy} 与 \cite{sxy} 的续篇。对 $G:=\GL_n$ 及其在代数闭域 $\bk$ 上的有理表示 $(\rho, M)$，我们定义增强代数群 $\uG:=G\ltimes_\rho M$，它是乘积簇 $\GL_n\times M$，赋予增强半直积结构。在本文中，我们首先证明增强 Lie 代数 $\ugg:=\Lie(\uG)$ 的幂零锥 $\ucaln:=\caln(\ugg)$ 在伴随 $\uG$-作用下具有有限幂零轨道，当且仅当除与一维模的张量积外，$M$ 同构于以下三类模之一：(i) 一维模，(ii) 自然模 $\bk^n$，(iii) 当 $n>2$ 时 $\bk^n$ 的线性对偶；且当 $n=2$ 时 $M$ 是维数不大于 $3$ 的不可约模。随后我们研究有限性成立时增强幂零轨道的几何。我们的焦点在于增强群 $\uG=\GL(V)\ltimes_{\eta}V$（具 $\GL(V)$ 的自然表示 $(\eta, V)$），对此我们通过一个称为 $n=\dim V$ 的增强分拆的有限集 $\scrpe$ 给出有限幂零轨道的精确分类，进而通过构造所谓增强旗簇给出增强幂零轨道闭包的精确描述。最后，建立了 $\uG$-等变交集上同调在 $\ugg$ 的幂零锥上沿幂零轨道闭包的分解。